證明題目#Let $\forall \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}$, $\text{N}(\mathbf{A})$ be the null space of $\mathbf{A}$, $\text{N}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A})$ = $\text{N}(\mathbf{A})$.
本文章將以直接證明法證明 $\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}$ 的零空間集合與 $\mathbf{A}$ 的零空間集合是相等的，屆時即教學如何證明兩集合相等。
集合相等的充分且必要條件#$$
\text{Let }\mathbf{A} \text{ and } \mathbf{B} \text{ are set. } \mathbf{A} = \mathbf{B} \iff \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B} \text{ and } \mathbf{B} \subseteq \mathbf{A}
$$
如果 $\mathbf{A}$ 為 $\mathbf{B}$ 的子集，代表著 $\forall a \in \mathbf{A}$ 且 $a \in \mathbf{B}$，知道要證明兩集合相等需要的子證明後，回到原本要證明的題目，該題目要證明的是兩個零空間集合相等，在證明之前先介紹零空間的定義：
$$
\text{N}(\mathbf{A})=\left\{ \vec{x}\ \middle| \ \mathbf{A}\vec{x}=\vec{0} \right\}
$$
補充#$$
\vec{y}^\mathrm{T}\vec{y}=\lVert \vec{y} \rVert^2=0 \iff\vec{y}=\vec{0}
$$
開始證明#透過上述集合相等的充分且必要條件的描述可知，只需證明 $\text{N}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}) \subseteq \text{N}(\mathbf{A})$ 與 $\text{N}(\mathbf{A}) \subseteq \text{N}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})$ 成立，即可證明 $\text{N}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{A}) = \text{N}(\mathbf{A})$。
首先，先證明 $\text{N}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}) \subseteq \text{N}(\mathbf{A})$：
$$
\begin{aligned}
\forall \vec{u} \in \text{N}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})&,\ \mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\vec{u}=\vec{0} \\
\vec{u}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{A}\vec{u}&=\vec{u}^{\mathrm{T}}\vec{0}=0 \\
(\mathbf{A}\vec{u})^\mathrm{T}\mathbf{A}\vec{u}&=0 \\
\mathbf{A}\vec{u}&=\vec{0} \\
\therefore \text{N}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}) &\subseteq \text{N}(\mathbf{A})
\end{aligned}
$$
接著證明 $\text{N}(\mathbf{A}) \subseteq \text{N}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})$：
$$
\begin{aligned}
\forall \vec{u} \in \text{N}(\mathbf{A})&,\ \mathbf{A}\vec{u}=\vec{0} \\
\mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{A}\vec{u}&=\mathbf{A}^\mathrm{T}\vec{0}=\vec{0} \\
\mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{A}\vec{u}&=\vec{0} \\
\therefore \text{N}(\mathbf{A}) &\subseteq \text{N}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})
\end{aligned}
$$
Q.E.D.